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Les propriétés associatives et commutatives

Les propriétés associatives et commutatives

Plusieurs propriétés mathématiques sont utilisées dans les statistiques et les probabilités; deux d'entre elles, les propriétés commutatives et associatives, sont généralement associées à l'arithmétique de base des entiers, des rationnels et des nombres réels, bien qu'elles apparaissent également dans les mathématiques plus avancées.

Ces propriétés - commutative et associative - sont très similaires et peuvent être facilement mélangées. Pour cette raison, il est important de comprendre la différence entre les deux.

La propriété commutative concerne l'ordre de certaines opérations mathématiques. Pour une opération binaire qui implique seulement deux éléments, cela peut être montré par l'équation a + b = b + a. L'opération est commutative car l'ordre des éléments n'affecte pas le résultat de l'opération. La propriété associative, en revanche, concerne le regroupement d'éléments dans une opération. Ceci peut être montré par l'équation (a + b) + c = a + (b + c). Le regroupement des éléments, comme indiqué par les parenthèses, n’affecte pas le résultat de l’équation. Notez que lorsque la propriété commutative est utilisée, les éléments d’une équation sont réarrangé. Lorsque la propriété associative est utilisée, les éléments sont simplement regroupé.

Propriété commutative

En termes simples, la propriété commutative indique que les facteurs d'une équation peuvent être librement réorganisés sans affecter le résultat de l'équation. La propriété commutative concerne donc l’ordonnancement des opérations, y compris l’addition et la multiplication de nombres réels, d’entiers et de nombres rationnels.

Par exemple, les nombres 2, 3 et 5 peuvent être additionnés dans n'importe quel ordre sans affecter le résultat final:

2 + 3 + 5 = 10
3 + 2 + 5 = 10
5 + 3 + 2 = 10

Les nombres peuvent également être multipliés dans n'importe quel ordre sans affecter le résultat final:

2 x 3 x 5 = 30
3 x 2 x 5 = 30
5 x 3 x 2 = 30

La soustraction et la division, cependant, ne sont pas des opérations pouvant être commutatives car l'ordre des opérations est important. Les trois chiffres ci-dessus ne peux pas, par exemple, être soustrait dans n'importe quel ordre sans affecter la valeur finale:

2 - 3 - 5 = -6
3 - 5 - 2 = -4
5 - 3 - 2 = 0

En conséquence, la propriété commutative peut être exprimée par les équations a + b = b + a et a x b = b x a. Peu importe l'ordre des valeurs dans ces équations, les résultats seront toujours les mêmes.

Propriété associative

La propriété associative indique que le regroupement de facteurs dans une opération peut être modifié sans affecter le résultat de l'équation. Ceci peut être exprimé par l'équation a + (b + c) = (a + b) + c. Peu importe la paire de valeurs de l'équation ajoutée en premier, le résultat sera le même.

Par exemple, prenons l'équation 2 + 3 + 5. Quelle que soit la façon dont les valeurs sont regroupées, le résultat de l'équation sera 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10
2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Comme pour la propriété commutative, les exemples d'opérations associatives incluent l'ajout et la multiplication de nombres réels, d'entiers et de nombres rationnels. Cependant, contrairement à la propriété commutative, la propriété associative peut également s'appliquer à la multiplication de matrice et à la composition de fonctions.

Comme les équations de propriétés commutatives, les équations de propriétés associatives ne peuvent pas contenir la soustraction de nombres réels. Prenons, par exemple, le problème arithmétique (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; si nous changeons le groupement des parenthèses, nous avons 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, ce qui change le résultat final de l'équation.

Quelle est la différence?

Nous pouvons faire la différence entre la propriété associative et la propriété commutative en posant la question suivante: «Sommes-nous en train de modifier l'ordre des éléments ou le regroupement des éléments?». Si les éléments sont en cours de réorganisation, la propriété commutative s'applique. . Si les éléments sont uniquement en cours de regroupement, la propriété associative s'applique.

Cependant, notez que la seule présence de parenthèses ne signifie pas nécessairement que la propriété associative s'applique. Par exemple:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Cette équation est un exemple de la propriété commutative d'addition de nombres réels. Si nous prêtons une attention particulière à l'équation, cependant, nous voyons que seul l'ordre des éléments a été modifié, pas le regroupement. Pour que la propriété associative s'applique, nous devons également réorganiser le regroupement des éléments:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3